Taillage d'engrenages elliptiques. Comment s'y prendre?

Bonsoir,

Je m’intéresse beaucoup aux horloges astronomiques et j’ai même un projet à ce sujet.
Dans tous les cas que j’ai vus les planètes se mouvaient sur des trajectoires circulaires, alors que dans la réalité elles se meuvent sur des trajectoires elliptiques. On était obligé de faire cette approximation pour des raisons de simplification de la réalisation mécanique.

Je viens de tomber sur un cas d’horloge où les trajectoires de la Terre et de la Lune sont elliptiques, à base d’engrenages elliptiques. La photo est de mauvaise qualité car je l'ai réduite à environ 800 pixels de large pour être sûr qu'elle passe dans le post. Désolé. Je ne sais pas combien de pixels de large ce Forum accepte. Sur cette photo seules la Terre et la Lune apparaissent et pas le Soleil. Il est situé à l'un des foyers de l'engrenage elliptique, au centre du gros trou.



Je me pose deux questions :
1- Comment s’y prendre sur la fraiseuse ou sur la machine à tailler pour réaliser des engrenages elliptiques. Si certains ont des idées sur la question je suis preneur. Merci.

2- Les arcs d’ellipse décrits par les planètes à des intervalles de temps égaux ne sont pas de longueur égale. Ce sont les surfaces balayées par les rayons vecteurs qui sont égales, à des intervalles de temps égaux. C’est la fameuse "loi des aires" (seconde loi de Kepler).
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lois_de_Kepler

Quelle astuce mécanique le créateur de cette horloge a-t-il utilisée pour faire en sorte que le nombre de dents parcouru sur l’engrenage elliptique ne soit pas proportionnel aux intervalles de temps, mais aux aires de l'ellipse balayées pendant ces intervalles de temps?
Nos anciens avaient beaucoup de science et savaient réaliser de très belles pièces avec des machines rudimentaires par rapport à celles dont nous disposons aujourd'hui.

Bon Matin Sulren ,

Sur une CN, je ne pense pas qu'il y ait de difficulté majeure.
Sur une fraiseuse traditionnelle, je ne vois pas.
Sur un pantographe Deckel certainement. Il permettait de réaliser des pièces très complexes lorsque l'opérateur avait "la machine dans la peau".

Mais je ne suis pas mécanicienne.

Amitiés

Bonjour,
Comme je n’ai pas picolé hier soir, samedi, j’avais les idées très claires ce matin tôt au réveil et j’ai décidé de m’attaquer au problème du taillage de l’engrenage elliptique, histoire de faire travailler mes neurones et retarder l’âge de la gâteuserie.
Il paraît que les neurones sont le contraire de la pile Wonder ; « ils ne s’usent que si on s’en sert ….pas ».

PROBLEME POSE:
Je veux tailler un engrenage elliptique de Z dents au module m.
Je me donne l’excentricité que je veux pour mon ellipse , soit « e ».

Pour info l’orbite terrestre a une excentricité de 0,016 710. Elle est proche du cercle, dont l’excentricité est égale à 0. L’excentricité de l’orbite de Mercure est de 0,205 630.

DETERMINATION DES PARAMETRES DE L’ELLIPSE
Si l’engrenage était circulaire son diamètre extérieur serait de m * (Z+2)
Son périmètre extérieur serait donc de π * m * (Z+2)

Je fais l’hypothèse que le périmètre extérieur de mon engrenage elliptique doit aussi être de p= π * m * (Z+2) Il faudrait le démontrer formellement.

Soit « a » le demi petit axe de l’ellipse.
Soit « b » le demi grand axe de l’ellipse.

On a les relations suivantes :
e = √(a^2-b^2 ) /a
p = π * √(2(a^2+b^2 ) Approximation du périmètre de l’ellipse due au mathématicien indien Ramanujan (pas un c.. celui là. Un vrai slumdog millionnaire)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan

On cherche deux inconnues a et b. On connait e et p et on dispose de deux équations comportant les deux inconnues et linéairement indépendantes.
On peut donc résoudre. A la main cela doit être laborieux. Avec un bon outil informatique (style Mathlab) on doit savoir faire sans se fatiguer.
Chapeau bas à l’Ancêtre qui a fait l’horloge ci-dessus avec son burin et son couteau !

Ayant obtenu a et b on peut alors tracer les demi axes sur la tôle de laiton et positionner les foyers F et F’ car on a la relation FF’ = 2 * √(a^2-b^2 )

TRACE DU CONTOUR DE L’ELLIPSE
On peut l’obtenir par trois méthodes :
1- Celle du jardinier :
On accroche aux deux foyers un fil inélastique de longueur égale à (2*a) et on le tend avec une pointe à tracer que l’on déplace et qui trace le contour de l’ellipse.

2- Celle des trois cercles de rayons a, b et a+b
Par une construction géométrique que l’on répète on trace l’ellipse point par point.

3- Celle du rayon vecteur partant du foyer F et aboutissant à l’ellipse. La longueur L de ce rayon vecteur est égale à
L = (b^2 / a) / (1 + e *cos(∝) ) ∝ étant l’angle entre le rayon vecteur et le grand axe

DECOUPE DE L’EBAUCHE DE L’ENGRENAGE
Facile ! Il suffit d’en avoir là dedans (les biscotos, pas la tête) et avec un bon bocfil on découpe l’ellipse en laiton, dont on égalise ensuite le bord à la lime douce.



TAILLAGE DES DENTS
- On visse un axe au foyer F de l’ébauche et on le serre dans le mandrin du diviseur universel
- On place la fraise au module de sorte que son plan passe toujours par le foyer F
- On tangente.
- On enfonce la fraise d’une quantité égale au module m
- On déplace le diviseur d’un angle Delta A1
- On tangente
- On enfonce la fraise d’une quantité égale au module
- On déplace le diviseur d’un angle Delta A2
- Etc jusqu’à tailler la dernière dent.

Le gros « hic » c’est que je ne sais pas (encore) calculer Delta A en fonction de la valeur de A. Ce Delta A n’est en effet pas le même d’une dent à l’autre, contrairement aux engrenages circulaires. Ce qui est constant c’est la distance entre deux dents sur le pourtour de l’ellipse.
Comme quoi, il ne suffit pas de s’être abstenu de picoler pour résoudre les problèmes de math. Il faut aussi en avoir là dedans (la tête, pas les biscotos….. ni le reste).

Il n’y a plus qu’à re-bûcher la théorie sur l’ellipse pour essayer, soit de trouver une méthode d’approximation de précision acceptable, soit de faire le calcul théorique exact de Delta A, ce qui revient à résoudre des intégrales elliptiques (j’ai un vieux cours sur le sujet, mais il a du devenir complètement hermétique pour moi).
En attendant de trouver, encore une fois chapeau bas à l’Ancêtre qui a fait cette horloge. Sacré burin !

PS: La photo de cette horloge a été prise dans la revue Horlogerie Ancienne N° 67, de juin 2010, éditée par l'Association Française des Amateurs d'horlogerie Ancienne (A.F.A.H.A).

Oui... c'est assez sidérant de voir comment, au XIXème siècle déjà, tous les concepts de base pour ces "exploits" mécaniques étaient déjà formalisés, de manière pas mal empirique (il n'y a pas là de dans de "grandes mathématiques") mais dans un souci d'efficacité pratique...
C'est ce que je lisais là dedans http://bibli.ec-lyon.fr/patrimoine/patrimoine/tables/01278V01.html aux pages 259 et suivantes...

Cordialement
Véro

Bonjour Véro,

Le bouquin que tu indiques dans ton lien est le Vignole des Mécaniciens de Armengaud Ainé, comportant 717 pages.
Je l’ai dans ma bibliothèque en 3eme édition, totalement refondue, datant se 1897 et comportant aussi 717 pages, donc probablement de la même édition que celui montré sur Internet.
Nous sommes là à la fin du XIXe siècle. La connaissance des mathématiques était à peu de choses près la même qu’aujourd’hui.

Le planétaire que j’ai montré, signé de Lemaire rue St Louis à Paris, date de 1788, soit un siècle avant. Les mathématiques étaient un peu moins avancées mais surtout la révolution industrielle n'avait pas encore eu lieu.

Cdlt
SULREN

Bonjour,
J’avance sur le sujet ci-dessus, mais tailler des dents dans une « patate» n’est pas encore gagné.
J’hésitais à poster ce message car je suis conscient du fait que ce sujet n’intéressera personne, étant donné qu’il ne s’agit pas d’usinage mais seulement de métrologie associée. De plus aucun d’entre nous n’aura à tailler d’engrenages elliptiques, sauf peut-être pour amuser ses enfants ou petits enfants. En cas de besoin pour une machine il vaut mieux les acheter chez Prud’Homme Transmissions, qui en vend pour des tas d’applications (voir NB).

J’ai quand même posté car notre forum est jeune et qu’il faut le faire décoller vite, quitte à l’alimenter par des sujets pas tout à fait dans l’axe.
En ce qui me concerne, comme je l’ai déjà dit, cet exercice consistait principalement à donner un coup de pied dans la fourmilière des neurones pour les faire bouger et aussi à trouver une occasion de créer des outils informatiques qui me serviront pour résoudre d’autres problèmes plus fréquents que celui-ci.

Problème posé:
On veut tailler un engrenage elliptique de Z = 31 dents en module m = 1
On se donne une excentricité de l’ellipse, définie par : demi-petit axe (b) = ¾ du demi-grand axe (a)

Calcul des éléments de l’ellipse :
Comme pour les engrenages circulaires le périmètre extérieur doit être de p = π * m * (Z+2) = 103,67 mm
Ce périmètre s’écrit : p= π * Rac (2*(a*a+b*b )) C'est l'approximation de Ramanujan.

Comme on sait que b = a * 3/4 on peut résoudre facilement les deux équations à la main et on aboutit à:
a = 18,67 mm
b = 14,00 mm
On en déduit la distance (2*c) entre les foyers F et F’ de l’ellipse par la formule :
c = Rac (a*a –b*b) = 12,35 mm
On peut dès lors tracer l’ellipse à la main ou informatiquement.

Découpe de l’ellipse :
- Soit au bocfil
- Soit taillage sur fraiseuse conventionnelle à partir des éléments donnés par le programme ci-dessous
- Je n’évoque pas les CNC car ce sont des « machines de riches »,…pouah ! (vous connaissez la fable : quand les raisins sont inaccessibles on dit qu’ils sont verts).

Division du contour de l’ellipse en intervalles égaux pour positionner la fraise module à chaque dent:
C’est un problème ardu et j’aimerais savoir si les CNC savent le résoudre et par quel algorithme elles le font. En effet, la variation de l’angle du rayon vecteur pour passer d'une dent à l’autre change constamment. J’y suis parvenu par ma méthode maison, en écrivant un petit programme qui fait de l'intégration sur l'ellipse. Il peut aussi servir à fractionner le contour de toute autre forme d’engrenage patatoïdal.

A partir des 3 données du problème ce programme calcule les coordonnées des points et des rayons vecteurs et il génère l’image ci-dessous.
Il génère aussi le tableau des angles B à appliquer successivement sur le plateau diviseur pour amener en face de la fraise le point du pourtour de l’ellipse où elle doit attaquer le taillage de la dent.
Pour chaque angle il indique la longueur du rayon vecteur Rv, de sorte qu’on sait à quelle position de la table des X la fraise doit tangenter. On peut aussi de servir de cela pour usiner l’ellipse elle-même dans un disque ébauche.



Difficulté mécanique non encore surmontée:
Dans le cas des engrenages circulaires droits, le plan de la fraise contient toujours l’axe du plateau diviseur. Dans le cas des engrenages elliptiques ce n’est pas le cas : il faut ajuster l’angle A pour chaque dent. Le programme m’indique cet angle car il sait calculer l’angle de la tangente t avec x.
Par contre je n’ai pas encore trouvé comment mettre cela en œuvre mécaniquement, sur une machine conventionnelle. Tailler des dents dans une patate n’est décidément pas une mince affaire.



NB :
APPLICATIONS DES ENGRENAGES ELLIPTIQUES, SUR LE CATALOGUE PRUD’HOMME TRANSMISSIONS
- Pompes à engrenages (débit double de celui avec engrenages classiques)
- Ouvertures de portes coulissantes (phases d’accélération puis de décélération)
- Découpe du papier : lorsque le papier se déroule les lames s’approchent doucement puis la coupe doit être réalisée très rapidement
- Soudage : approche et recul rapide puis vitesse lente lors du soudage
- Lorsqu’il faut atténuer ou supprimer les variations cycliques de vitesse engendrées par des couples variables et de signes différents (moteur Diesel – imprimante-textile – machine automatique – etc)
- Transformation du mouvement circulaire en mouvement oscillant (ou en mouvement marche-arrêt), etc.

Prochain taillage, quand l'ellipse aura succombé :

Bonjour,
Suite et fin (je l'espère) de la réflexion.

On pourrait aussi procéder comme indiqué ci-dessous pour éviter d'avoir à modifier l'orientation de la tête de fraisage d'une dent à l'autre, ce qui est une galère et détruit tous les réglages. Il suffit juste de translater la tête à l'aide de la table de la fraiseuse ou du chariot de la machine à tailler.
On fixe l'ébauche à tailler sur un coulisseau et on monte ce dernier sur le plateau diviseur.



On taille la première dent, pile dans l'axe de la ligne des foyers de l'ellipse, En superposant le foyer F1 avec l'axe du plateau diviseur qui passe par O (pour superposer il suffit de faire tourner le plateau et faire en sorte que F1 reste fixe).
Ensuite pour chaque nouvelle dent:
- On fait tourner le diviseur d'un angle A
- On déplace le coulisseau pour obtenir la quantité D
- On fait tangenter la fraise sur l'ébauche
- On fait plonger la fraise d'une quantité égale au module de la dent.
- Etc

Bien sûr, les commandes d'axes doivent être précises:
- Il faut un diviseur universel à roue et vis sans fin tangente et agir toujours dans le sens de la compensation du jeu
- Il faut une commande a vis de type micrométrique sur le coulisseau et travailler là aussi en compensant le jeu. On peut aussi utiliser un comparateur. J'en ai un de marque Roch de 100 mm de course.

Il n'y a plus qu'à se taper le plat de consistance, la partie la plus difficile : "la réalisation pratique".

Bonjour à tous.

Salut SULREN.

J'ai suis admiratif devant tous ses sortes de pignons, à voir le principe ont dirait qu'il n'y a pas de limite en forme, et puis quel casse tête pour que tout s'imbrique l'un dans l'autre, il doit y avoir pas mal de maths derrière tout ça.
Moi usiner ça irai mais les pondre sur papier c'est autre chose.

Jean-Jacques.

Bonjour,
Brise-Copeaux a dit:

il doit y avoir pas mal de maths derrière tout ça.

Même pas ! Ce ne sont pas les Maths qui nous bloquent dans la plupart des cas, mais la capacité à bien se poser le problème et à bien conduire l’analyse qui mènera à la solution.
Voici dans le lien ci-dessous un exemple pour illustrer cela.
C’est un petit problème de train planétaire, ou train épicycloïdal, comme on en trouve dans certains mécanismes (différentiel de voiture, etc).
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/Train_epi_type_ii.PNG

Question : à quelle vitesse n2 en tr/mn tournera l’axe jaune, si l’axe bleu tourne à n1 tr/mn et que je bloque l’axe vert dans son palier. Les nombres de dents de chaque roue sont donnés bien sûr (z1, z2, ….).
Ces problèmes m’ont fait souffrir parce que j’ai du les affronter seul, n’ayant trouvé aucune théorie, ni sur Internet ni dans les bouquins. A force d’acharnement j’ai appris à les résoudre.
Et pourtant ils ne nécessitent que la connaissance des fractions et de l’équation du premier degré : y=a x +b, c’est à dire niveau de seconde (ou première je ne sais plus). Donc ce n’étaient pas les Maths qui bloquaient.

Je peux dire sans aucune fausse modestie que les problèmes d’engrenages que j’ai montrés sur les forums ne nécessitaient qu’une connaissance en Mathématiques Elémentaires. Je fais référence au fil dans lequel nous sommes et aux fils ci-dessous :

http://www.usinages.com/clonage-engrenage-avec-flycutter-realise-sur-photo-t16143.html
http://www.usinages.com/taillage-de-roues-t2155-45.html#71323
http://www.usinages.com/fabrication-d-un-projecteur-de-profil-t15485.html
Et au fil sur les calculs de filetage avec des jeux de pignons de lyre incomplets :
http://www.usinages.com/une-histoire-de-filets-18-et-26-par-pouce-t19961.html

Il ne s’agit que de trigonométrie simple, d’équations du 1er et 2eme degré, de savoir faire un changement d’axes de coordonnées et d’un zest (très très léger) de calcul intégral. Il n’y a ni calcul différentiel, ni calcul matriciel, ni calcul vectoriel, et encore moins de calcul tensoriel ou de mathématiques statistiques. Ce n’est que du basique, mais pour que la mayonnaise prenne il faut ajouter quelques ingrédients comme savoir utiliser Excel, faire un peu de programmation, connaître l'usinage et la théorie des engrenages.

ATTENTION : Je précise que je ne me suis intéressé qu’aux engrenages cylindriques droits et aux engrenages coniques droits, parce que je ne saurais pas tailler les autres types (hypoïdes, paradoxaux,…). Il est probable que pour maîtriser ces derniers il faille plus de Maths.

Bonjour,
Merci Pascal pour ces photos. Le gars a fait un très beau travail, très didactique et de finition soignée.
J'essayerai de me rendre à l'exposition où il sera visible, pour discuter avec lui de la méthode qu'il a utilisée et plus généralement pour échanger avec lui dans ces domaines techniques.

Les trois méthodes ci-dessous sont classées par ordre de difficulté décroissante :
- La méthode du XVIIIe siècle, celle de l'horloge que j'ai montrée en entame. L'horloger devait:
Surmonter la théorie des calculs (ou la sous-traiter)
Se taper les calculs à la main, ce qui est fastidieux (ou les sous-traiter)
Réaliser les engrenages bizarres sur des machines conventionnelles, style Louis XV (une prouesse).

- La méthode amateur, type Sulren:
Surmonter la théorie des calculs.
Programmer son ordinateur pour qu'il lui fasse les calculs et les tracés et le dispenser de ce travail fastidieux.
Réaliser sur machine de type conventionnel, construite maison (étape pas encore franchie).

- La méthode amateur équipé de CNC
Utiliser les fonctionnalités puissantes d'une CNC équipée d'un logiciel de CAO top niveau.
Lui programmer le travail à faire et attendre le résultat.

Cela fait de beaux sujets de discussion avec notre homme.