CALCUL de TRAINS d'ENGRENAGES par la méthode de l'Arbre de Brocot

Bonjour,

Résumé :
Il est parfois nécessaire de calculer un train d’engrenages pour réaliser un rapport de transmission extrêmement précis.
Je voudrais expliquer ici une méthode simple mais redoutablement efficace, que l'horloger-mathématicien Camille Brocot a présentée en 1860 dans la « Revue Chronométrique ». On l’appelle communément « l’Arbre de Brocot ».

Brocot destinait cette méthode à ses confrères horlogers qui avaient besoin de calculer des trains d’engrenages pour les complications de leur garde temps, mais qui ne maîtrisaient pas forcément l’outil mathématique. Il suffit en effet de connaître les quatre opérations +, -, x , : , et de disposer d’une feuille de papier et d’un crayon. Il vaut mieux aujourd’hui ajouter une calculette pour gagner du temps et si possible de travailler sur Excel qui en fait gagner encore plus.

Il existe une autre méthode manuelle, celle des « fractions continues », que Jean Baptiste Schwilgué a utilisée pour calculer les trains d’engrenages de l’horloge astronomique de Strasbourg. Brocot la trouvait trop lourde à mettre en œuvre et je partage son point de vue.
Bien sûr à l’aide de programmes tournant sur PC on peut résoudre facilement le problème du calcul de trains d’engrenages. Nous avons eu l’occasion d’en parler dans des topics sur le calcul de pignons pour réaliser des filetages à des pas non standards, ou bien à des pas standards mais en n’ayant pas tous les pignons du jeu complet.

Je ne suis pas sûr que l’Arbre de Brocot puisse servir dans les problèmes de filetages, mais il pourrait quand même être utile de le connaître pour d'autres besoins. Voici deux exemples qui illustrent sa mise en œuvre.

1- Recherche d’une fraction pour approcher le nombre Pi
(la pie sur l’arbre de Brocot )
Pi = 3,141592653590
On commence par rechercher deux fractions qui encadrent ce nombre et qu’on appellera fractions « encadrantes » (ce n’est pas un terme officiel mais juste un raccourci de langage).
Par exemple 3/1 =3 et 4/1 =4 encadrent Pi.
Ou 3/1 et 7/2=3,5 encadrent aussi Pi, etc.

On construit à la main ou sur Excel le tableau ci-dessous.
On retrouve la fraction 22/7 bien connu des tourneurs car elle sert dans le trainard pour obtenir des déplacement de chariot en mm, par la crémaillère du banc à et tournant un volant de manœuvre gradué en mm (je parle de conventionnel, pas de CNC).
L’autre fraction 355 / 113 est un bon moyen mnémotechnique de retenir Pi avec 11 décimales. On peut aussi utiliser la phrase qui donne 10 décimales et qu’on nous enseignait à l’école primaire (de mon temps ):
Que(3) j(1)’aime(4) à(1) faire(5) apprendre(9) ce(2) nombre(6) utile(5) aux(3) sages(5)
Cette phrase conduit à : 3,1415926535…….



Les cases colorées en vert sont les deux premières fractions encadrantes choisies.
Ensuite sur chaque ligne on construit une fraction dite « médiante » à partir de deux fractions situées plus haut dans le tableau et en faisant simplement la somme des numérateurs pour déterminer le numérateur de la nouvelle fraction, et la somme des dénominateurs pour déterminer le dénominateur de la nouvelle fraction. On démontre que le résultat de la médiante est compris entre les résultats des encadrantes.
Il faut choisir deux fractions "encadrantes" qui encadrent bien le nombre recherché, Pi dans le cas présent. Il faut donc que les erreurs correspondantes à ces deux fractions et notées dans la colonne erreur, aient un signe opposé, sinon on n’aura pas encadrement.
On continue le tableau jusqu’à trouver une fraction médiante qui donne une précision satisfaisante.

2 Recherche de trains de rouages pour les phases de lune.

On appelle phase de lune cette petite fenêtre qu’on voit sur certaines montres, ou certaines pendules, et qui font apparaître un disque portant deux lunes et qui tourne derrière un masque. Le masque découpe le disque de la lune en faisant apparaitre le croissant de lune tel qui apparait au même moment dans le ciel.

Dans l’exemple que le présente le train d’engrenages est entrainé par l’axe des heures de la montre, qui fait donc un tour en 12 h soit 43 200 secondes.
Le disque qui porte les deux lunes doit tourner de un demi -tour en une lunaison (mois lunaire) qui dure 29j 12 h 44mn 2,9 secondes, soit 2 551 442,9 secondes.
En une lunaison l’axe des heures doit donc tourner de :
2 551 442,9 / 43200 = 118,1223565 tours. C’est le rapport que l’on recherche.

On ne s’embête pas et on choisit comme premières fractions « encadrantes » tout simplement : 118/1 et 119/1.
Ensuite on construit son tableau.



On obtient des fractions qu’il faut ensuite décomposer pour trouver des engrenages faciles à réaliser. On décompose jusqu’à tomber sur des nombres premiers. On fait cela à l’aide d’une calculette, mais c’est plus facile avec un bon tableau Excel créé spécialement pour cela. Je m’en suis fait un pour décomposer les nombres en une série de nombres premiers.

On peut exprimer le rapport de transmission en divisant le nombre de tours de l’arbre mené par le nombre de tours de l’arbre menant, ou le contraire. Il faut donc exploiter la fraction dans le sens qui correspond au sens dans lequel on voit le train d’engrenages.

Voici des montages de phase de lune correspondants à quelques fractions du tableau ci-dessus :









Avec des trains à 6 roues on arrive à une précision, tout à fait superflue, de 2,8 milli-sec par lunaison c'est-à-dire de 3,7 sec..... sur 100 ans.

Voila! J’espère que l’Arbre de Brocot vous rendra service un jour.

Sites associés :
Théorie sur l’Arbre de Brocot :
http://www.math.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/Brocot/Brocot.html

Forum Horlogerie Suisse où j'ai déjà eu cette discussion. Aller au bas de la page.
http://www.horlogerie-suisse.com/forum/viewtopic.php?f=2&t=1485&start=30

........ Bonsoir Sulren,

j'achète !
Je ne pense pas construire d'horloges mécanique, mais pour le coté anecdotique, ça me va bien.
J'était un peu à court ces temps-ci au restaurant d'entreprise et j'ai du refaire à mes collègues le coup des fruits climactériques et autres solanacées toxiques.

Merci pour cet apport à nos connaissances.

Amicalement.
Alain.

bonsoir Sulren
passionnant, comme quoi on a rien inventer, tout existe déjà avant que l'ont soit arrivé.
Jean-Paul

Bonsoir

Merci , mais bobo la tête aprés une journée chargée.
Super lorsque l'on recherche une bonne précision.

PS: je ne saurais pas le refaire de tête demain

Cordialement

Bonsoir SULREN

Merci pour ses infos on ne peu plus intéressantes

Merci, ça part dans mes favoris
Bonsoir Vicente

j'ai copié tout ton sujet, et j'en ai fait un pdf, pour le garder sous la main
merci pour le partage de culture

Hello Sulren ,

Un sujet très intéressant et qui donne des idées.

Amitiés

Bonjour,

Je suis arrivé sur ce sujet en faisant une recherche sur Gogole.
Très utile, merci pour le partage

Salutations

C'est surprenant, en m'instruisant il a quelques semaines sur la machine d'Anticythère, je suis tombé le sujet.
J'ai trouvé l'opuscule d'Achille Brocot datant de 1962 et l'ai lu attentivement. La partie 2 est un tout petit peu mathématique (dans une formulation désuète), mais la démarche est intéressante. Quelques coquilles émaillent la partie 2, mais rien de vraiment fâcheux qui en rende la compréhension difficile. J'avais commencé à en faire une "traduction", ce post m'incite à aller au bout de ma démarche !
À tout bientôt avec un bout de texte à partager.
Tout de bon,
Peiro